Matemática básica Ejemplos

$3^{1 - a} - 3^{a} = 2$

Paso 1

Reescribe $3^{1 - a}$ como $3^{1} \cdot 3^{- a}$ .

$3 \cdot 3^{- a} - 3^{a} = 2$

Paso 2

Reescribe $3^{- a}$ como exponenciación.

$3 \cdot {(3^{a})}^{- 1} - 3^{a} = 2$

Paso 3

Sustituye $u$ por $3^{a}$ .

$3 \cdot u^{- 1} - u = 2$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot \frac{1}{u} - u = 2$

Paso 4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} - u = 2$

Paso 5

Reordena $\frac{3}{u}$ y $- u$ .

$- u + \frac{3}{u} = 2$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 6.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 6.2

Multiplica cada término en $- u + \frac{3}{u} = 2$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.1

Multiplica cada término en $- u + \frac{3}{u} = 2$ por $u$ .

$- u \cdot u + \frac{3}{u} u = 2 u$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$- (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 2 u$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- u^{2} + 3 = 2 u$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $2 u$ de ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + 3 - 2 u = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 3 - 2 u$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Mueve $3$ .

$- u^{2} - 2 u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) - 2 u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 u$ .

$- (u^{2}) - (2 u) + 3 = 0$

Paso 6.3.2.1.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 6.3.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 6.3.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} + 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Paso 6.3.2.2

Factoriza.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $u^{2} + 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 6.3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 6.3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Paso 6.3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 1) (u + 3) = 0$

Paso 6.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Paso 6.3.4

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.4.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 6.3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 6.3.5

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.5.1

Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Paso 6.3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

Paso 6.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 1) (u + 3) = 0$ verdadera.

$u = 1, - 3$

Paso 7

Sustituye $1$ por $u$ en $u = 3^{a}$ .

$1 = 3^{a}$

Paso 8

Resuelve $1 = 3^{a}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $3^{a} = 1$ .

$3^{a} = 1$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{a}) = \ln (1)$

Paso 8.3

Expande $\ln (3^{a})$ ; para ello, mueve $a$ fuera del logaritmo.

$a \ln (3) = \ln (1)$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$a \ln (3) = 0$

Paso 8.5

Divide cada término en $a \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 8.5.1

Divide cada término en $a \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 8.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 8.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 8.5.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 8.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (3)$ .

$a = 0$

Paso 9

Sustituye $- 3$ por $u$ en $u = 3^{a}$ .

$- 3 = 3^{a}$

Paso 10

Resuelve $- 3 = 3^{a}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $3^{a} = - 3$ .

$3^{a} = - 3$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{a}) = \ln (- 3)$

Paso 10.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 3)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 10.4

No hay soluciones para $3^{a} = - 3$

No hay solución

Paso 11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$a = 0$